फलन f(x) = frac{x}{1 + |x|}, x in R का परिसर | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ जहाँ $x \in R$ है।स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$ होगा।$f(x) = \frac{x}{1 + x} = \frac{x + 1 - 1

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$(-1, 1)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ जहाँ $x \in R$ है।स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$ होगा।$f(x) = \frac{x}{1 + x} = \frac{x + 1 - 1}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$।जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$1 + x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 + x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है। इसलिए,$x \ge 0$ के लिए परिसर $[0, 1)$ है।स्थिति $2$: यदि $x $f(x) = \frac{x}{1 - x} = \frac{-(1 - x) + 1}{1 - x} = -1 + \frac{1}{1 - x}$।जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $-\infty$ तक घटता है,$1 - x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 - x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $-1$ तक घटता है। इसलिए,$x दोनों स्थितियों को मिलाने पर,फलन का परिसर $(-1, 0) \cup [0, 1) = (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}, x \in R$ का परिसर (range) है

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